大阪大学医学部 Python会 (情報医科学研究会)

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ローレンツ曲線とPythonで日本人の年収の偏りを示そう!

2019-03-25(Mon) - Posted by 平岡 in 技術ブログ    tag:Statistics

Contents

    このページでは統計初学者向けにローレンツ曲線とその意味、使い所について説明し、Pythonを使って実際にデータ解析を行ってみます。

    ローレンツ曲線とは

    ローレンツ曲線とは、横軸にも縦軸にも累積相対度数を使って、描いたグラフのことです。何かの偏りを示したいときに利用されることが多いです。

    ローレンツ曲線の使用法

    何か「これには偏りがあるのではないか?」と思ったら試しに書いてみるといいでしょう。

    今回は日本人の年収に偏りがあるのかローレンツ曲線を使って見てみたいと思います。 厚生労働省のHPからから、世帯別年収データをダウンロードして、jupyter labで作業をするディレクトリに置きます。私はnumbersで一度開いて、csvに変換しました。データはこちらにあります。コードを動かす際にはデータをダウンロードしてdata/income.csvのように配置してください。

    In [1]:
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    import pandas as pd
    import matplotlib.pyplot as plt
    

    とりあえず、データを読み込んで中をのぞいてみましょう。

    In [2]:
    df = pd.read_csv('data/income.csv')
    df
    
    Out[2]:
    Unnamed: 0 第5表 各種世帯別にみた所得金額階級別世帯数の分布及び中央値 Unnamed: 2 Unnamed: 3 Unnamed: 4 Unnamed: 5 Unnamed: 6 Unnamed: 7 Unnamed: 8 Unnamed: 9 Unnamed: 10 Unnamed: 11 Unnamed: 12
    0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN 平成27年調査 NaN NaN NaN
    1 NaN 所 得 金 額 階 級 全世帯 NaN 高齢者世帯 NaN 児童のいる世帯 NaN 65歳以上の者の\nいる世帯 NaN NaN NaN NaN
    2 NaN NaN 累積度数分布 相対度数分布 累積度数分布 相対度数分布 累積度数分布 相対度数分布 累積度数分布 相対度数分布 NaN NaN NaN
    3 NaN NaN (%) (%) (%) (%) (%) (%) (%) (%) NaN NaN NaN
    4 NaN 総      数 100.0 100.0 100.0 100.0 NaN NaN NaN
    5 NaN 50 万 円 未 満 1.0 1.0 2.1 2.1 - - 1.2 1.2 NaN NaN NaN
    6 NaN 50~ 100 6.4 5.4 13.7 11.6 1.4 1.4 8.3 7.1 NaN NaN NaN
    7 NaN 100~ 150 12.9 6.5 26.1 12.4 4.1 2.7 16.6 8.3 NaN NaN NaN
    8 NaN 150~ 200 20.1 7.2 40.9 14.8 6.4 2.3 26.5 9.9 NaN NaN NaN
    9 NaN 200~ 250 26.7 6.7 51.8 10.9 9.2 2.8 35.2 8.7 NaN NaN NaN
    10 NaN 250~ 300 34.0 7.3 63.0 11.2 13.0 3.8 44.6 9.4 NaN NaN NaN
    11 NaN 300~ 350 41.1 7.1 73.8 10.8 17.6 4.6 53.6 9.0 NaN NaN NaN
    12 NaN 350~ 400 47.1 6.0 81.4 7.6 21.9 4.3 60.2 6.6 NaN NaN NaN
    13 NaN 400~ 450 52.0 4.9 85.3 3.9 27.0 5.1 64.8 4.6 NaN NaN NaN
    14 NaN 450~ 500 56.9 4.9 89.1 3.8 33.1 6.1 69.1 4.3 NaN NaN NaN
    15 NaN 500~ 600 65.7 8.8 93.6 4.5 45.1 12.0 76.2 7.1 NaN NaN NaN
    16 NaN 600~ 700 73.0 7.3 95.6 2.0 56.7 11.7 81.3 5.1 NaN NaN NaN
    17 NaN 700~ 800 79.3 6.3 97.1 1.5 66.9 10.2 85.8 4.4 NaN NaN NaN
    18 NaN 800~ 900 84.0 4.7 97.6 0.6 74.3 7.3 88.6 2.9 NaN NaN NaN
    19 NaN 900~1000 87.8 3.9 98.1 0.5 81.4 7.1 90.9 2.3 NaN NaN NaN
    20 NaN 1000 万 円 以 上 100.0 12.2 100.0 1.9 100.0 18.6 100.0 9.1 NaN NaN NaN
    21 NaN 平均所得金額\n(541万9千円)\n 以下の割合(%) 61.2 NaN 91.5 NaN 38.6 NaN 72.5 NaN NaN NaN NaN
    22 NaN 中央値(万円) 427 NaN 240 NaN 633 NaN 327 NaN NaN NaN NaN
    23 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN

    今回は全世帯の累積度数分布、相対度数分布の50万円未満〜1000万円以上のデータが必要なので、下のように適宜データを抜き出し、columnsとindexの名前をつけ直します。また、データがstringになっているので、floatに直します。

    In [3]:
    df.columns = df.loc[2]
    df.index = df.iloc[0:24,1]
    df = df.iloc[5:21,2:4]
    df.iloc[:,0:2] = df.iloc[:,0:2].astype('float')
    df
    
    Out[3]:
    2 累積度数分布 相対度数分布
    nan
    50 万 円 未 満 1.0 1.0
    50~ 100 6.4 5.4
    100~ 150 12.9 6.5
    150~ 200 20.1 7.2
    200~ 250 26.7 6.7
    250~ 300 34.0 7.3
    300~ 350 41.1 7.1
    350~ 400 47.1 6.0
    400~ 450 52.0 4.9
    450~ 500 56.9 4.9
    500~ 600 65.7 8.8
    600~ 700 73.0 7.3
    700~ 800 79.3 6.3
    800~ 900 84.0 4.7
    900~1000 87.8 3.9
    1000 万 円 以 上 100.0 12.2

    年収500万円までは50万円刻み、500万円からは100万円刻みで階級が分けられています。そこで、一つの階級の集団の年収が平均を仮定して、(平均年収×世帯数)の相対度数を求めます。

    例えば、200~250の階級の平均年収は225万円、600~700の階級の平均年収は650万円としています。 1000万円以上の階級の平均年収はだいたい2000万円というデータがありましたので、今回は2000万円として計算します。

    計算できたらDataFrameを結合します。

    In [4]:
    arr1 = np.array([])
    
    # 年収0~500万円までの階級をarr1にappendしていく。
    for i in range(0,10):
        arr1 = np.append(arr1, df.iloc[i,1]/100 * (50 * i + 25))
        
    # 年収500~1000万円までの階級をarr1にappendしていく。    
    for i in range(0,5):
        arr1 = np.append(arr1, df.iloc[i,1]/100 * (100 * i + 550))
    arr1 = np.append(arr1, df.iloc[15,1]/100 * 2000)
    sum = np.sum(arr1)
    arr1 = arr1/sum * 100
    
    df1 = pd.DataFrame(arr1)
    df1.index = df.index
    df1 = df1.rename(columns={0:'(平均年収 × 世帯数)の相対度数'})
    df = pd.concat([df, df1], axis=1)
    

    続いて、(平均年収×世帯数)の累積相対度数を求めて、DataFrameを結合します。

    In [5]:
    arr2 = np.array([])
    x = 0
    for i in range(0,len(df.index)):
        x += df.iloc[i,2]
        arr2 = np.append(arr2, x)
    df2 = pd.DataFrame(arr2)
    df2.index = df.index
    df2 = df2.rename(columns={0:'(平均年収×世帯数)の累積相対度数'})
    df = pd.concat([df, df2], axis=1)
    

    完成したDataFrameは下の通りです。

    In [6]:
    df
    
    Out[6]:
    累積度数分布 相対度数分布 (平均年収 × 世帯数)の相対度数 (平均年収×世帯数)の累積相対度数
    nan
    50 万 円 未 満 1.0 1.0 0.041115 0.041115
    50~ 100 6.4 5.4 0.666064 0.707179
    100~ 150 12.9 6.5 1.336239 2.043417
    150~ 200 20.1 7.2 2.072198 4.115615
    200~ 250 26.7 6.7 2.479237 6.594852
    250~ 300 34.0 7.3 3.301538 9.896390
    300~ 350 41.1 7.1 3.794918 13.691308
    350~ 400 47.1 6.0 3.700354 17.391662
    400~ 450 52.0 4.9 3.424883 20.816545
    450~ 500 56.9 4.9 3.827810 24.644355
    500~ 600 65.7 8.8 0.904531 25.548886
    600~ 700 73.0 7.3 5.772552 31.321437
    700~ 800 79.3 6.3 8.017433 39.338870
    800~ 900 84.0 4.7 10.064962 49.403832
    900~1000 87.8 3.9 10.467889 59.871721
    1000 万 円 以 上 100.0 12.2 40.128279 100.000000

    これではよくわからないので、視覚的に捉えられるようにmatplotlibでグラフを作りましょう。

    In [7]:
    x = df.iloc[:,0]
    y = df.iloc[:,3]
    a = np.arange(0,110,10)
    b = a
    
    plt.figure(figsize=(10, 10))
    plt.plot(x, y)
    plt.title('日本人の年収のローレンツ曲線', fontname="MS Gothic") 
    plt.xlabel('世帯数累積度', fontname="MS Gothic") 
    plt.ylabel('(平均年収*世帯数)の累積相対度数', fontname="MS Gothic")
    plt.grid() 
    plt.show()
    

    青色の曲線が今回書くことができた、ローレンツ曲線です。 両軸ともに累積相対度数を通っているので最終的に値が100%になることは直感的に理解できると思います。 ところで、$y = x$ のグラフに比べて、下の方を伝っていることがわかると思います。 これこそが、年収の分布に不均一性が存在していることを示しています。

    例えば、(平均年収*世帯数)の累積相対度数 = 20%のところで、だいたい、世帯数累積度 = 50%となっていますね。これは、日本人の年収の合計20%を年収の低い50%の人が受け取っているという意味になります。

    また、平均年収*世帯数)の累積相対度数 = 40%、世帯数累積度 = 80%となっているところもありますね、これは高級どり上位20%の人が、日本人の年収合計の60%を所有しているということになります。うーん、年収の不均等は確かに存在していそうですね。

    ちなみに $y = x$ の直線をローレンツ曲線のグラフでは均等配分線と呼ばれ、直線のように分布していれば、年収の偏りは存在しないよいうことになります。逆に 均等配分線とローレンツ曲線で作られる三日月型の面積が多ければ大きいほど偏りが大きいということになります。